Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

Etapa 1

Divida $x$ por $x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 10$ .

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

Etapa 5

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

Etapa 6

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

Etapa 7

Deixe $u = x + 10$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u = x + 10$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 7.1.4

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Etapa 7.3

Some $0$ e $10$ .

$u_{lower} = 10$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

Etapa 7.5

Some $5$ e $10$ .

$u_{upper} = 15$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $x$ em $5$ e em $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $15$ e em $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

Etapa 9.3

Some $5$ e $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $15$ é $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $10$ é $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $15$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Fatore $5$ de $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

Etapa 11.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Etapa 11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.94534891 \dots$

Etapa 13