Cálculo Exemplos

$f (x) = - 3 x - \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{10} x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x - \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{10} x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{8} x^{- 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- \frac{5}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{8} x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 3 - \frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 3 - \frac{5}{8} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 3 + 2 (\frac{5}{8}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.4

Combine $2$ e $\frac{5}{8}$ .

$- 3 + \frac{2 \cdot 5}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$- 3 + \frac{10}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.6

Combine $\frac{10}{8}$ e $x^{- 3}$ .

$- 3 + \frac{10 x^{- 3}}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.7

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 + \frac{10}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.8

Cancele o fator comum de $10$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Fatore $2$ de $10$ .

$- 3 + \frac{2 (5)}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.2.1

Fatore $2$ de $8 x^{3}$ .

$- 3 + \frac{2 (5)}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 + \frac{2 \cdot 5}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4.3

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{10} (5 x^{4})$

Etapa 1.5.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 5 (\frac{1}{10}) x^{4}$

Etapa 1.5.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{10}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 5}{10} x^{4}$

Etapa 1.5.5

Combine $\frac{- 5}{10}$ e $x^{4}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x^{4}}{10}$

Etapa 1.5.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5 (- x^{4})}{10}$

Etapa 1.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (2)}$

Etapa 1.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2}$

Etapa 1.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- x^{4}}{2}$

Etapa 1.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 + \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{2}$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5}{4 x^{3}} - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{4}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5}{4 x^{3}} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $- 2 x^{3}$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.3

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.5

Combine $\frac{6}{2}$ e $x$ .

$- 2 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.6

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.3.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$- 2 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.6.2.4

Divida $3 x$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{4 x^{3}}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $\frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{4 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{5}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.8

Combine $- 3$ e $\frac{5}{4}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 3 \cdot 5}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.9

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 15}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.10

Combine $\frac{- 15}{4}$ e $x^{- 4}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 15 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.11

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x + \frac{- 15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}} + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{3} + 3 x - \frac{15}{4 x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{4 x^{4}}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- \frac{15}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{15}{4 x^{4}}$ em relação a $x$ é $- \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 3.4.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 3.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 3.4.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- 6 x^{2} + 3 - \frac{15}{4} (- 4 x^{- 5})$

Etapa 3.4.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 + 4 (\frac{15}{4}) x^{- 5}$

Etapa 3.4.9

Combine $4$ e $\frac{15}{4}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4} x^{- 5}$

Etapa 3.4.10

Multiplique $4$ por $15$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{60}{4} x^{- 5}$

Etapa 3.4.11

Combine $\frac{60}{4}$ e $x^{- 5}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{60 x^{- 5}}{4}$

Etapa 3.4.12

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{60}{4 x^{5}}$

Etapa 3.4.13

Cancele o fator comum de $60$ e $4$ .

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Etapa 3.4.13.1

Fatore $4$ de $60$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4 x^{5}}$

Etapa 3.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.13.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{5}$ .

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4 (x^{5})}$

Etapa 3.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{4 \cdot 15}{4 x^{5}}$

Etapa 3.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 x^{2} + 3 + \frac{15}{x^{5}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$f''' (x) = - 6 x^{2} + \frac{15}{x^{5}} + 3$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{2} + \frac{15}{x^{5}} + 3$ .

$- 6 x^{2} + \frac{15}{x^{5}} + 3$