Cálculo Exemplos

$x {(x - 3)}^{2} (x + 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 3) (x - 3)) (x + 1)]$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x + 1)]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x + 1)]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1)]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x + 1)]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9) (x + 1)]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (x^{2} - 6 x + 9)$ e $g (x) = x + 1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.5

Diferencie.

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Etapa 1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7

Diferencie.

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Etapa 1.7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1)$

Etapa 1.7.9

Multiplique $x^{2} - 6 x + 9$ por $1$ .

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x) + x \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 1.8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 1.8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9

Combine os termos.

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Etapa 1.8.9.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.9.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.8.9.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.1.2

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 (x^{1} x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 (x^{1} x^{1}) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{1 + 1} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.5

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.6

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 \cdot x + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x^{1} x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x^{1} x^{1})) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{1 + 1}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.10

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{1 + 2} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.13

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x^{1} x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x^{1} x^{1})) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{1 + 1}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.17

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{2}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.18

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.19

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (- 6 \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.20

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x^{1} x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.21

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{1 + 1} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.23

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.24

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (- 6 \cdot x) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.25

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.26

Subtraia $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.27

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.9.27.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.8.9.27.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{1} x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.27.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{1 + 2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.27.2

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.28

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.29

Some $2 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.30

Some $- 4 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.31

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x^{1} x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.32

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.33

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{1 + 1} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.34

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.35

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.36

Subtraia $6 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.37

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.38

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 \cdot x + 1 \cdot 9$

Etapa 1.8.9.39

Multiplique $9$ por $1$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 x + 9$

Etapa 1.8.9.40

Some $- 12 x$ e $9 x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 9$

Etapa 1.8.9.41

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 9 x^{2} - 3 x + 9$

Etapa 1.8.9.42

Subtraia $9 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x - 3 x + 9$

Etapa 1.8.9.43

Subtraia $3 x$ de $9 x$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} - 30 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((x - 3) (x - 3)) (x + 1))$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x + 1))$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x + 1))$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1))$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1))$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1))$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x + 1))$

Etapa 4.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9) (x + 1))$

Etapa 4.1.4

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x + 1) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

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Etapa 4.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

Etapa 4.1.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7

Diferencie.

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Etapa 4.1.7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.7

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 4.1.7.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1)$

Etapa 4.1.7.9

Multiplique $x^{2} - 6 x + 9$ por $1$ .

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 4.1.8

Simplifique.

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Etapa 4.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 4.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x) + x \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 4.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 4.1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 4.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 4.1.8.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 4.1.8.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

Etapa 4.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9

Combine os termos.

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Etapa 4.1.8.9.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.8.9.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.9.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{1 + 1} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.6

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 \cdot x + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x \cdot x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x \cdot x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{1 + 1}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.10

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{1 + 2} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.13

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x \cdot x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x \cdot x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{1 + 1}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.17

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{2}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.18

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.19

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (- 6 \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.20

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.21

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{1 + 1} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.23

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.24

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (- 6 \cdot x) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.25

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.26

Subtraia $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.27

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.8.9.27.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.1.8.9.27.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.27.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{1 + 2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.27.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.28

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.29

Some $2 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.30

Some $- 4 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.31

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x \cdot x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.32

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x \cdot x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.33

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{1 + 1} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.34

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.35

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.36

Subtraia $6 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.37

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.38

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 \cdot x + 1 \cdot 9$

Etapa 4.1.8.9.39

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 x + 9$

Etapa 4.1.8.9.40

Some $- 12 x$ e $9 x$ .

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 9$

Etapa 4.1.8.9.41

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 9 x^{2} - 3 x + 9$

Etapa 4.1.8.9.42

Subtraia $9 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x - 3 x + 9$

Etapa 4.1.8.9.43

Subtraia $3 x$ de $9 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 5.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Etapa 5.2.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$4 \cdot 3^{3} - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 27 - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $4$ por $27$ .

$108 - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$108 - 15 \cdot 9 + 6 \cdot 3 + 9$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $- 15$ por $9$ .

$108 - 135 + 6 \cdot 3 + 9$

Etapa 5.2.3.6

Subtraia $135$ de $108$ .

$- 27 + 6 \cdot 3 + 9$

Etapa 5.2.3.7

Multiplique $6$ por $3$ .

$- 27 + 18 + 9$

Etapa 5.2.3.8

Some $- 27$ e $18$ .

$- 9 + 9$

Etapa 5.2.3.9

Some $- 9$ e $9$ .

$0$

Etapa 5.2.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9}{x - 3}$

Etapa 5.2.5

Divida $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ por $x - 3$ .

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Etapa 5.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x$

$9$

Etapa 5.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

Etapa 5.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Etapa 5.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Etapa 5.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 5.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 5.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 9 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 5.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$

Etapa 5.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$

Etapa 5.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$

Etapa 5.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

Etapa 5.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x + 9$ .

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

Etapa 5.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							+	$3 x$	-	$9$
										$0$

Etapa 5.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} - 3 x - 3$

Etapa 5.2.6

Escreva $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.5

Defina $4 x^{2} - 3 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $4 x^{2} - 3 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 3$ e $c = - 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 3$ .

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Etapa 5.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.5.2.3.1.3

Some $9$ e $48$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

Etapa 5.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(3)}^{2} - 30 \cdot 3 + 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 9 - 30 \cdot 3 + 6$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$108 - 30 \cdot 3 + 6$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 30$ por $3$ .

$108 - 90 + 6$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $90$ de $108$ .

$18 + 6$

Etapa 9.2.2

Some $18$ e $6$ .

$24$

Etapa 10

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = (3) {((3) - 3)}^{2} ((3) + 1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (3) = 3 \cdot (0^{2} ((3) + 1))$

Etapa 11.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (3) = 3 \cdot (0 ((3) + 1))$

Etapa 11.2.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (3) = 0 ((3) + 1)$

Etapa 11.2.4

Some $3$ e $1$ .

$f (3) = 0 \cdot 4$

Etapa 11.2.5

Multiplique $0$ por $4$ .

$f (3) = 0$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

$12 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$12 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.3.2

Fatore $4$ de $64$ .

$4 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.3.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.3.4

Reescreva a expressão.

$3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.4

Combine $3$ e $\frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(3 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.5

Reescreva ${(3 + \sqrt{57})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})$ .

$\frac{3 ((3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.6

Expanda $(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 (3 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (3 + \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} (3 + \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 3 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 3 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{57}$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.1.4

Multiplique $57$ por $57$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{3249})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.1.5

Reescreva $3249$ como $57^{2}$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + 57)}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.2

Some $9$ e $57$ .

$\frac{3 (66 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.7.3

Some $3 \sqrt{57}$ e $3 \sqrt{57}$ .

$\frac{3 (66 + 6 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $66 + 6 \sqrt{57}$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $2$ de $3 (66 + 6 \sqrt{57})$ .

$\frac{2 (3 (33 + 3 \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (3 (33 + 3 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 (33 + 3 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.9.1

Fatore $2$ de $- 30$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 15) \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 13.1.9.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

Etapa 13.1.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

Etapa 13.1.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - 15 \frac{3 + \sqrt{57}}{4} + 6$

Etapa 13.1.10

Combine $- 15$ e $\frac{3 + \sqrt{57}}{4}$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 15 (3 + \sqrt{57})}{4} + 6$

Etapa 13.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4} + 6$

Etapa 13.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Multiplique $\frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - (\frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Etapa 13.2.2

Multiplique $\frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 6$

Etapa 13.2.3

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Etapa 13.2.4

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 13.2.5

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 33 + 3 (3 \sqrt{57}) - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.2

Multiplique $3$ por $33$ .

$\frac{99 + 3 (3 \sqrt{57}) - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} + (- 15 \cdot 3 - 15 \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.5

Multiplique $- 15$ por $3$ .

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} + (- 45 - 15 \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 45 \cdot 2 - 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.7

Multiplique $- 45$ por $2$ .

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 90 - 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.8

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 90 - 30 \sqrt{57} + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 13.4.9

Multiplique $6$ por $8$ .

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 90 - 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

Etapa 13.5

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Subtraia $90$ de $99$ .

$\frac{9 + 9 \sqrt{57} - 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

Etapa 13.5.2

Some $9$ e $48$ .

$\frac{57 + 9 \sqrt{57} - 30 \sqrt{57}}{8}$

Etapa 13.5.3

Subtraia $30 \sqrt{57}$ de $9 \sqrt{57}$ .

$\frac{57 - 21 \sqrt{57}}{8}$

Etapa 14

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ na expressão.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) {((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3)}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57}}{8} - 3 \cdot \frac{8}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 15.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57}}{8} + \frac{- 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 15.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57} - 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 15.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57} - 24}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 15.2.3.2

Subtraia $24$ de $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{- 21 + \sqrt{57}}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 15.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{- 21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 + \sqrt{57})}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.4.3

Reescreva ${(- 21 + \sqrt{57})}^{2}$ como $(- 21 + \sqrt{57}) (- 21 + \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{(- 21 + \sqrt{57}) (- 21 + \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.5

Expanda $(- 21 + \sqrt{57}) (- 21 + \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 (- 21 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (- 21 + \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} (- 21 + \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot - 21 + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.1

Multiplique $- 21$ por $- 21$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot - 21 + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.1.2

Mova $- 21$ para a esquerda de $\sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.1.4

Multiplique $57$ por $57$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{3249}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.1.5

Reescreva $3249$ como $57^{2}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.2

Some $441$ e $57$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.6.3

Subtraia $21 \sqrt{57}$ de $- 21 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 - 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.7

Cancele o fator comum de $498 - 42 \sqrt{57}$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Fatore $2$ de $498$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) - 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.7.2

Fatore $2$ de $- 42 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) + 2 (- 21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.7.3

Fatore $2$ de $2 (249) + 2 (- 21 \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 - 21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.7.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.4.1

Fatore $2$ de $64$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 - 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.7.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 - 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.7.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 - 21 \sqrt{57}}{32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.8

Multiplique $\frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 - 21 \sqrt{57}}{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1

Multiplique $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ por $\frac{249 - 21 \sqrt{57}}{32}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 + \sqrt{57}) (249 - 21 \sqrt{57})}{8 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.8.2

Multiplique $8$ por $32$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 + \sqrt{57}) (249 - 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.9

Expanda $(3 + \sqrt{57}) (249 - 21 \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} (249 - 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (- 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} (249 - 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (- 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} \cdot 249 + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.10.1.1

Multiplique $3$ por $249$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 3 (- 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} \cdot 249 + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.2

Multiplique $- 21$ por $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 249 + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.3

Mova $249$ para a esquerda de $\sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.4

Multiplique $\sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.10.1.4.1

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.4.2

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.5

Reescreva ${\sqrt{57}}^{2}$ como $57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.10.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{57}$ como $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.10.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.1.6

Multiplique $- 21$ por $57$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 1197}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.2

Subtraia $1197$ de $747$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.10.3

Some $- 63 \sqrt{57}$ e $249 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 + 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.11

Cancele o fator comum de $- 450 + 186 \sqrt{57}$ e $256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.11.1

Fatore $2$ de $- 450$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) + 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.11.2

Fatore $2$ de $186 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) + 2 (93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.11.3

Fatore $2$ de $2 (- 225) + 2 (93 \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 + 93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.11.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.11.4.1

Fatore $2$ de $256$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 + 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.11.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 + 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.11.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 15.2.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.12.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot (\frac{3 + \sqrt{57}}{8} + \frac{8}{8})$

Etapa 15.2.12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{3 + \sqrt{57} + 8}{8}$

Etapa 15.2.12.3

Some $3$ e $8$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$

Etapa 15.2.13

Multiplique $\frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.13.1

Multiplique $\frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128}$ por $\frac{11 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 + 93 \sqrt{57}) (11 + \sqrt{57})}{128 \cdot 8}$

Etapa 15.2.13.2

Multiplique $128$ por $8$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 + 93 \sqrt{57}) (11 + \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.14

Expanda $(- 225 + 93 \sqrt{57}) (11 + \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 (11 + \sqrt{57}) + 93 \sqrt{57} (11 + \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} (11 + \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \cdot 11 + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 15.2.15

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.15.1.1

Multiplique $- 225$ por $11$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \cdot 11 + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.2

Multiplique $11$ por $93$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.3

Multiplique $93 \sqrt{57} \sqrt{57}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.15.1.3.1

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.3.2

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{2}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.4

Reescreva ${\sqrt{57}}^{2}$ como $57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.15.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{57}$ como $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.15.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

Etapa 15.2.15.1.5

Multiplique $93$ por $57$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 5301}{1024}$

Etapa 15.2.15.2

Some $- 2475$ e $5301$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 15.2.15.3

Some $- 225 \sqrt{57}$ e $1023 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 + 798 \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 15.2.16

Cancele o fator comum de $2826 + 798 \sqrt{57}$ e $1024$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.16.1

Fatore $2$ de $2826$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) + 798 \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 15.2.16.2

Fatore $2$ de $798 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) + 2 (399 \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.16.3

Fatore $2$ de $2 (1413) + 2 (399 \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 + 399 \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 15.2.16.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.16.4.1

Fatore $2$ de $1024$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 + 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

Etapa 15.2.16.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 + 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

Etapa 15.2.16.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Etapa 15.2.17

A resposta final é $\frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$ .

$y = \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

$12 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$12 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.3.2

Fatore $4$ de $64$ .

$4 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.3.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.3.4

Reescreva a expressão.

$3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.4

Combine $3$ e $\frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(3 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.5

Reescreva ${(3 - \sqrt{57})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})$ .

$\frac{3 ((3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.6

Expanda $(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 (3 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (3 - \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (3 - \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 (9 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.4

Multiplique $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.4.2

Multiplique $\sqrt{57}$ por $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.4.3

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.4.4

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.5

Reescreva ${\sqrt{57}}^{2}$ como $57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{57}$ como $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{1})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57)}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.2

Some $9$ e $57$ .

$\frac{3 (66 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.7.3

Subtraia $3 \sqrt{57}$ de $- 3 \sqrt{57}$ .

$\frac{3 (66 - 6 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.8

Cancele o fator comum de $66 - 6 \sqrt{57}$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.8.1

Fatore $2$ de $3 (66 - 6 \sqrt{57})$ .

$\frac{2 (3 (33 - 3 \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.8.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (3 (33 - 3 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 (33 - 3 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.9.1

Fatore $2$ de $- 30$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 15) \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

Etapa 17.1.9.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

Etapa 17.1.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

Etapa 17.1.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - 15 \frac{3 - \sqrt{57}}{4} + 6$

Etapa 17.1.10

Combine $- 15$ e $\frac{3 - \sqrt{57}}{4}$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 15 (3 - \sqrt{57})}{4} + 6$

Etapa 17.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4} + 6$

Etapa 17.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Multiplique $\frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - (\frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Etapa 17.2.2

Multiplique $\frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 6$

Etapa 17.2.3

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Etapa 17.2.4

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 17.2.5

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 33 + 3 (- 3 \sqrt{57}) - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.2

Multiplique $3$ por $33$ .

$\frac{99 + 3 (- 3 \sqrt{57}) - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} + (- 15 \cdot 3 - 15 (- \sqrt{57})) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.5

Multiplique $- 15$ por $3$ .

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} + (- 45 - 15 (- \sqrt{57})) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.6

Multiplique $- 1$ por $- 15$ .

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} + (- 45 + 15 \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 45 \cdot 2 + 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.8

Multiplique $- 45$ por $2$ .

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 90 + 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.9

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 90 + 30 \sqrt{57} + 6 \cdot 8}{8}$

Etapa 17.4.10

Multiplique $6$ por $8$ .

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 90 + 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

Etapa 17.5

Simplifique somando os termos.

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Etapa 17.5.1

Subtraia $90$ de $99$ .

$\frac{9 - 9 \sqrt{57} + 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

Etapa 17.5.2

Some $9$ e $48$ .

$\frac{57 - 9 \sqrt{57} + 30 \sqrt{57}}{8}$

Etapa 17.5.3

Some $- 9 \sqrt{57}$ e $30 \sqrt{57}$ .

$\frac{57 + 21 \sqrt{57}}{8}$

Etapa 18

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ na expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) {((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3)}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57}}{8} - 3 \cdot \frac{8}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 19.2.2

Combine frações.

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Etapa 19.2.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57}}{8} + \frac{- 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 19.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57} - 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 19.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.2.3.1

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57} - 24}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 19.2.3.2

Subtraia $24$ de $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{- 21 - \sqrt{57}}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

Etapa 19.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 19.2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{- 21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 - \sqrt{57})}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.4.3

Reescreva ${(- 21 - \sqrt{57})}^{2}$ como $(- 21 - \sqrt{57}) (- 21 - \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{(- 21 - \sqrt{57}) (- 21 - \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.5

Expanda $(- 21 - \sqrt{57}) (- 21 - \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 (- 21 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (- 21 - \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (- 21 - \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot - 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1.1

Multiplique $- 21$ por $- 21$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot - 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 21$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot - 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.3

Multiplique $- 21$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.4

Multiplique $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.4.2

Multiplique $\sqrt{57}$ por $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.4.4

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{57}}^{2}$ como $57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{57}$ como $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.2

Some $441$ e $57$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.6.3

Some $21 \sqrt{57}$ e $21 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 + 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.7

Cancele o fator comum de $498 + 42 \sqrt{57}$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.7.1

Fatore $2$ de $498$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) + 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.7.2

Fatore $2$ de $42 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) + 2 (21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.7.3

Fatore $2$ de $2 (249) + 2 (21 \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 + 21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.7.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.7.4.1

Fatore $2$ de $64$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 + 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.7.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 + 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.7.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 + 21 \sqrt{57}}{32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.8

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 + 21 \sqrt{57}}{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.8.1

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ por $\frac{249 + 21 \sqrt{57}}{32}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 - \sqrt{57}) (249 + 21 \sqrt{57})}{8 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.8.2

Multiplique $8$ por $32$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 - \sqrt{57}) (249 + 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.9

Expanda $(3 - \sqrt{57}) (249 + 21 \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} (249 + 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} (249 + 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 249 - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.10.1.1

Multiplique $3$ por $249$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 3 (21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 249 - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.2

Multiplique $21$ por $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 249 - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.3

Multiplique $249$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.4

Multiplique $- \sqrt{57} (21 \sqrt{57})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.10.1.4.1

Multiplique $21$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.4.2

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.4.3

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.5

Reescreva ${\sqrt{57}}^{2}$ como $57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.10.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{57}$ como $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.10.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.1.6

Multiplique $- 21$ por $57$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 1197}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.2

Subtraia $1197$ de $747$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.10.3

Subtraia $249 \sqrt{57}$ de $63 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 - 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.11

Cancele o fator comum de $- 450 - 186 \sqrt{57}$ e $256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.11.1

Fatore $2$ de $- 450$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) - 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.11.2

Fatore $2$ de $- 186 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) + 2 (- 93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.11.3

Fatore $2$ de $2 (- 225) + 2 (- 93 \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 - 93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.11.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.11.4.1

Fatore $2$ de $256$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 - 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.11.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 - 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.11.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

Etapa 19.2.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.12.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot (\frac{3 - \sqrt{57}}{8} + \frac{8}{8})$

Etapa 19.2.12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{3 - \sqrt{57} + 8}{8}$

Etapa 19.2.12.3

Some $3$ e $8$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$

Etapa 19.2.13

Multiplique $\frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.13.1

Multiplique $\frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128}$ por $\frac{11 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 - 93 \sqrt{57}) (11 - \sqrt{57})}{128 \cdot 8}$

Etapa 19.2.13.2

Multiplique $128$ por $8$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 - 93 \sqrt{57}) (11 - \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.14

Expanda $(- 225 - 93 \sqrt{57}) (11 - \sqrt{57})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 (11 - \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} (11 - \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 (- \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} (11 - \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 (- \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} \cdot 11 - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.15

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.15.1.1

Multiplique $- 225$ por $11$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 (- \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} \cdot 11 - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 225$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 93 \sqrt{57} \cdot 11 - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.3

Multiplique $11$ por $- 93$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.4

Multiplique $- 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.15.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 93$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.4.2

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.4.3

Eleve $\sqrt{57}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{2}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.5

Reescreva ${\sqrt{57}}^{2}$ como $57$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.15.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{57}$ como $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.15.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

Etapa 19.2.15.1.6

Multiplique $93$ por $57$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 5301}{1024}$

Etapa 19.2.15.2

Some $- 2475$ e $5301$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 19.2.15.3

Subtraia $1023 \sqrt{57}$ de $225 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 - 798 \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 19.2.16

Cancele o fator comum de $2826 - 798 \sqrt{57}$ e $1024$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.16.1

Fatore $2$ de $2826$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) - 798 \sqrt{57}}{1024}$

Etapa 19.2.16.2

Fatore $2$ de $- 798 \sqrt{57}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) + 2 (- 399 \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.16.3

Fatore $2$ de $2 (1413) + 2 (- 399 \sqrt{57})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 - 399 \sqrt{57})}{1024}$

Etapa 19.2.16.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.16.4.1

Fatore $2$ de $1024$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 - 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

Etapa 19.2.16.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 - 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

Etapa 19.2.16.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Etapa 19.2.17

A resposta final é $\frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$ .

$y = \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x {(x - 3)}^{2} (x + 1)$ .

$(3, 0)$ é um mínimo local

$(\frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512})$ é um máximo local

$(\frac{3 - \sqrt{57}}{8}, \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512})$ é um mínimo local

Etapa 21