Cálculo Exemplos

$y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x = - 27$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x) = \frac{d}{d x} (- 27)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 y$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + \frac{d}{d x} [20 x]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Etapa 2.6.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \cdot 1$

Etapa 2.6.3

Multiplique $20$ por $1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20$

Etapa 2.7

Reordene os termos.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y'$

Etapa 3

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 20 - 9 y' = - 4 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

Etapa 5.2

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 y'$ de $- 6 y y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) - 9 y' = - 4 x - 20$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 y'$ de $- 9 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

Etapa 5.2.4

Fatore $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

Etapa 5.2.5

Fatore $3 y'$ de $3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y - 3) = - 4 x - 20$

Etapa 5.3

Fatore.

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Etapa 5.3.1

Fatore $y^{2} - 2 y - 3$ usando o método AC.

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Etapa 5.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 5.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 y' ((y - 3) (y + 1)) = - 4 x - 20$

Etapa 5.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ por $3 (y - 3) (y + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ por $3 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$