Cálculo Exemplos

$5 x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{- \frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 1.8

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 1.9

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.10

Combine $- 5$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.11.1

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- \frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Etapa 2.9

Combine $x^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Etapa 2.10

Multiplique.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Etapa 2.11

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.12

Multiplique.

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Etapa 2.12.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Etapa 2.12.3

Mova $x^{- \frac{5}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$