Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o termo $14$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 2} 5}$

Etapa 1.1.3.1.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $14$ por $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{28 - 3} - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Subtraia $3$ de $28$ .

$\frac{0}{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{2 x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.13

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.15

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.15.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.3.3.15.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.15.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.15.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.15.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.3.15.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{14 x - 3} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{14 x - 3}$ como ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 14 x - 3$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $14 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $14 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.4

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.12

Multiplique $14$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.13

Some $14$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.15

Combine $\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.16

Mova $14$ para a esquerda de ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14 \cdot {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.17

Mova ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.18

Fatore $2$ de $14$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.7.19.1

Fatore $2$ de $2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.19.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.7.19.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Etapa 1.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.5.1

Reescreva $2^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Etapa 1.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

Etapa 1.5.3

Reescreva ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{14 x - 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ por $\frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x} \cdot 7}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{7}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $14$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $14$ por $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $3$ de $28$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{7 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{5}{14}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{14}$

Forma decimal:

$0.3\overline{571428}$