Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $9$ e em $1$ .

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Etapa 7.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $9$ e em $1$ .

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.4

Subtraia $1$ de $81$ .

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.5

Cancele o fator comum de $80$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.5.1

Fatore $2$ de $80$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.5.2.4

Divida $40$ por $1$ .

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.1.3.6

Multiplique $2$ por $40$ .

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

Etapa 7.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

Etapa 7.3.3

Divida $9$ por $1$ .

$80 + \ln (9)$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$80 + \ln (9)$

Forma decimal:

$82.19722457 \dots$

Etapa 9