Cálculo Exemplos

$\int 5 \cdot 5^{5 x} d x$

Etapa 1

Multiplique $5$ por $5^{5 x}$ .

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Etapa 1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$\int 5^{1} \cdot 5^{5 x} d x$

Etapa 1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 5^{1 + 5 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Etapa 3

Combine $5^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u$

Etapa 5

A integral de $5^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{1 + 5 x} + C$