Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 5.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 6.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 6.3

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 8

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 9

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 10.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 11

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 12

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 13

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$