Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} \sqrt[3]{8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $2 \sqrt[3]{8}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + lim_{h \to 0} h} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8 + 0} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{8} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2^{3}} - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{8}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt[3]{2^{3}}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{8}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \sqrt[3]{2^{3}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sqrt[3]{8 + h} - 2 \cdot 2$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d h} [2 \sqrt[3]{8 + h}]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{8 + h}$ como ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.2

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 {(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ e $g (h) = 8 + h$ .

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Etapa 1.3.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h]) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.5

Como $8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $8$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.12

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.13

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.14

Multiplique $\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.15

Mova ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.16

Combine $2$ e $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [- 2 \cdot 2]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.2

Como $- 4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Some $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{{(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + lim_{h \to 0} h)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(8 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{2}}$

Etapa 4.3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{2}{12}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Etapa 4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$