Cálculo Exemplos

$x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 9.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$