Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2 - 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $4 \ln (3 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 - 2 x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) - 2 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) + 2 (- x^{2})}$

Etapa 1.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- x^{2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 1.1.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

Etapa 1.1.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

Etapa 1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$2 \frac{\ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 \frac{\ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{\ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$2 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 \frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$2 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.8

Some $3$ e $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.9

Combine $\frac{1}{3 x - 2}$ e $3$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

Etapa 2.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Etapa 2.3.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Etapa 2.3.12

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.12.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.12.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 1 \cdot 2 x}$

Etapa 2.3.12.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 2 x}$

Etapa 2.3.13

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{- 2 x}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{3}{3 x - 2}$ por $\frac{1}{- 2 x}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) \cdot - 2 x}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{3}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) x}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{3}{2 (- 1)} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3}{2 \cdot - 1} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{- 1} \cdot \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 5.2

Divida $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$- 3 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 3 \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 \frac{1}{3 - 2}$

Etapa 5.4.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

$- 3 \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$