Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

Etapa 1

Complete o quadrado de $2 x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Etapa 2

Substitua $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ por $2 x^{2} + x$ na equação $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

Etapa 3

Mova $- \frac{1}{8}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{8}$ aos dois lados.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

Etapa 4

Complete o quadrado de $2 y^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Etapa 4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Etapa 5

Substitua $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ por $2 y^{2} + y$ na equação $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

Etapa 6

Mova $- \frac{1}{8}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{8}$ aos dois lados.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Etapa 7

Complete o quadrado de $2 z^{2} + z$ .

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Etapa 7.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 7.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 7.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 7.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Etapa 7.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 7.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Etapa 7.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Etapa 7.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Etapa 8

Substitua $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ por $2 z^{2} + z$ na equação $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Etapa 9

Mova $- \frac{1}{8}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{8}$ aos dois lados.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Etapa 10

Simplifique $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ .

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Etapa 10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

Etapa 10.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 10.2.1

Some $1$ e $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

Etapa 10.2.2

Some $2$ e $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

Etapa 10.3

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Etapa 10.4

Combine $9$ e $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Etapa 10.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

Etapa 10.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.6.1

Multiplique $9$ por $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

Etapa 10.6.2

Some $72$ e $3$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

Etapa 11