Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} + 2 x + 11}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x + 3) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $2 x^{2} + 2 x + 11$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{A (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.4.2

Divida $(B x + C) (2 x + 3)$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (2 x + 3)$

Etapa 1.1.6.5

Expanda $(B x + C) (2 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x + 3) + C (2 x + 3)$

Etapa 1.1.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x + 3)$

Etapa 1.1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Etapa 1.1.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x \cdot x + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Etapa 1.1.6.6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.6.2.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Etapa 1.1.6.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

Etapa 1.1.6.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $B x$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 \cdot (B x) + C (2 x) + C \cdot 3$

Etapa 1.1.6.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + C \cdot 3$

Etapa 1.1.6.6.5

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Etapa 1.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.7.1

Mova $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 B x + 2 C x + 3 C$

Etapa 1.1.7.2

Mova $B$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 3 C$

Etapa 1.1.7.3

Mova $4 A$ .

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 4 A + 3 C$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + 2 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$11 = 4 A + 3 C$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $2 = A + 2 B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 2$ .

$A + 2 B = 2$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2 - 2 B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $11 = 4 A + 3 C$ por $2 - 2 B$ .

$11 = 4 (2 - 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$11 = 4 \cdot 2 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$11 = 8 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.3

Reordene $2$ e $- 2 B$ .

$A = - 2 B + 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $A = - 2 B + 2$ .

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $- 2 B + 2 = A$ .

$- 2 B + 2 = A$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 B = A - 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4.3

Divida cada termo em $- 2 B = A - 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.3.4.3.1

Divida cada termo em $- 2 B = A - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{A}{2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.4.3.3.1.2

Divida $- 2$ por $- 2$ .

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{A}{2} + 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $11 = 8 - 8 B + 3 C$ por $- \frac{A}{2} + 1$ .

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Simplifique $8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{A}{2}$ para o numerador.

$11 = 8 - 8 \frac{- A}{2} - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$11 = 8 + 2 (- 4) (\frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$11 = 8 + 2 \cdot (- 4 \frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.2

Combine os termos opostos em $8 + 4 A - 8 + 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$11 = 4 A + 0 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.2.1.2.2

Some $4 A$ e $0$ .

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $2 = 3 B + 2 C$ por $- \frac{A}{2} + 1$ .

$2 = 3 (- \frac{A}{2} + 1) + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.5.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 = 3 (- \frac{A}{2}) + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.5.4.1.2

Multiplique $3 (- \frac{A}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 = - 3 \frac{A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.5.4.1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{A}{2}$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.5.4.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.5.4.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6

Resolva $C$ em $2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Reescreva a equação como $- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$ .

$- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Some $\frac{3 A}{2}$ aos dois lados da equação.

$3 + 2 C = 2 + \frac{3 A}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 C = 2 + \frac{3 A}{2} - 3$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.2.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3

Divida cada termo em $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.1

Divida cada termo em $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$C = \frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3.3.1.2

Multiplique $\frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.3.1.2.1

Multiplique $\frac{3 A}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$C = \frac{3 A}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.6.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $11 = 4 A + 3 C$ por $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1

Simplifique $4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4}) + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.1.2

Multiplique $3 \frac{3 A}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1.2.1

Combine $3$ e $\frac{3 A}{4}$ .

$11 = 4 A + \frac{3 (3 A)}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.1.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.1.3

Multiplique $3 (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.1.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.2

Para escrever $4 A$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$11 = 4 A \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.3.1

Combine $4 A$ e $\frac{4}{4}$ .

$11 = \frac{4 A \cdot 4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.4.1.1

Fatore $A$ de $4 A \cdot 4 + 9 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.4.1.1.1

Fatore $A$ de $4 A \cdot 4$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.4.1.1.2

Fatore $A$ de $9 A$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + A \cdot 9}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.4.1.1.3

Fatore $A$ de $A (4 \cdot 4) + A \cdot 9$ .

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.4.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$11 = \frac{A (16 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.4.1.3

Some $16$ e $9$ .

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.7.2.1.4.2

Mova $25$ para a esquerda de $A$ .

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8

Resolva $A$ em $11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Reescreva a equação como $\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$ .

$\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.2.1

Some $\frac{3}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{25 A}{4} = 11 + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.2.2

Para escrever $11$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = 11 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.2.3

Combine $11$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.2.5.1

Multiplique $11$ por $2$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{22 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.2.5.2

Some $22$ e $3$ .

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.1.1

Simplifique $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.1.1.2.1

Fatore $25$ de $25 A$ .

$\frac{1}{25} \cdot (25 (A)) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.2.1

Simplifique $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.8.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ por $2$ .

$C = \frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1

Simplifique $\frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$C = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$C = \frac{2 (3)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{3 - 1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1.4.1

Subtraia $1$ de $3$ .

$C = \frac{2}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.2.1.4.2

Divida $2$ por $2$ .

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

Etapa 1.3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = - \frac{A}{2} + 1$ por $2$ .

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Etapa 1.3.9.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.4.1

Simplifique $- \frac{2}{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Etapa 1.3.9.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Etapa 1.3.9.4.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

Etapa 1.3.9.4.1.2

Some $- 1$ e $1$ .

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

Etapa 1.3.10

Liste todas as soluções.

$B = 0, C = 1, A = 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.2

Some $0$ e $1$ .

$\int \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x + 3$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 7.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 9.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| u |) + C + \frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\ln (| u |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 3$ .

$\ln (| 2 x + 3 |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$