Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ como ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ como ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3

Multiplique os expoentes em ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

Etapa 1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ e $g (x) = 8 x^{2} - 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 7.2

Combine ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 7.3

Mova ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 9

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $8$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 12

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

Etapa 13

Combine frações.

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Etapa 13.1

Some $16 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

Etapa 13.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Etapa 13.3

Combine $- 16$ e $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Etapa 13.4

Combine $\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ e $x$ .

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$