Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

Etapa 1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

Etapa 1.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $x + 8 x^{2}$ por $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 2.2

Mova o termo $64$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.4

Avalie os limites substituindo $- \frac{1}{8}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{1}{8}$ por $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{1}{8}$ por $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.2.5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.4

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 3.1.2.5.1.4.1

Fatore $8$ de $8^{2}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.4.2

Cancele o fator comum.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.4.3

Reescreva a expressão.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.3

Some $- 1$ e $1$ .

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.2.5.4

Divida $0$ por $8$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova o termo $64$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{1}{8}$ por $x$ .

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.3.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.6

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 3.1.3.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$64 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 3.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$64 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$64 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$64 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$64 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.4.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \cdot 64 - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Mova $64$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.2

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.4

Multiplique $2$ por $64$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

Etapa 3.3.9

Some $128 x$ e $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $\frac{1}{128}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Etapa 4.4

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $- \frac{1}{8}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{1}{8}$ por $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{1}{8}$ por $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $64$ de $128$ .

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Etapa 6.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 6.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.3.1.2

Fatore $8$ de $16$ .

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.3.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.3.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.4

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1 (- 1 \cdot 8)$ .

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

Etapa 6.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Etapa 6.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão.

$4$