Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{(x^{3} + 1)}{x} d x$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{2}}{1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\int_{1}^{e^{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}}$ e $\ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)$ em $e^{2}$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} {(e^{2})}^{3} + \ln (| e^{2} |)) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2})}^{3}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{2 \cdot 3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} e^{6} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$

Etapa 6.2.2.5

Para escrever $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Etapa 6.2.2.6

Combine $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Etapa 6.2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{6} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Etapa 6.2.2.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (| e^{2} |)$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

$e^{2}$ é aproximadamente $7.38905609$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (e^{2})$

Etapa 7.2

Expanda $\ln (e^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \ln (e)$

Etapa 7.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \cdot 1$

Etapa 7.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

Forma decimal:

$136.14293116 \dots$

Etapa 9