Cálculo Exemplos

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \arctan (y)$ e $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.2.2

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Etapa 3.6

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Some $8 x x'$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Etapa 3.7.2

Combine $8$ e $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Etapa 3.7.3

Combine $x$ e $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Etapa 3.7.4

Combine $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ e $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.7.5

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Reordene os termos.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Etapa 3.8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.8.2.1

Reescreva ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ como $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Etapa 3.8.2.2

Expanda $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.8.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Etapa 3.8.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Etapa 3.8.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.2.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Etapa 3.8.2.3.2

Subtraia $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Etapa 3.8.2.4

Some $9$ e $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Etapa 3.8.2.5

Fatore $2$ de $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Etapa 3.8.2.5.1

Fatore $2$ de $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Etapa 3.8.2.5.2

Fatore $2$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Etapa 3.8.2.5.3

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Etapa 3.8.2.5.4

Fatore $2$ de $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Etapa 3.8.2.5.5

Fatore $2$ de $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Etapa 3.8.3

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 3.8.3.1

Fatore $2$ de $8 x x'$ .

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Etapa 3.8.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Etapa 3.8.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ por $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ por $4 x$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ por $4 x$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $4$ de $8 x^{4}$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{4}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.5

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.5

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$