Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = t^{4} + 2 t$ . Depois, $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = t^{4} + 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $t^{4} + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} + 2 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 t^{3} + 2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Etapa 6.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{4} + 2 t$ .

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$