Cálculo Exemplos

$z = {(20 x - x y)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(20 x - x y)}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 20 x - x y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $20 x - x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $20 x - x y$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

Etapa 3.2.2

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y])$

Etapa 3.2.4

Multiplique $20$ por $1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 + \frac{d}{d x} [- x y])$

Etapa 3.2.5

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \cdot 1)$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(20 x - x y)}^{2} \cdot 20 + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

Etapa 3.3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $20$ por $3$ .

$60 {(20 x - x y)}^{2} + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 {(20 x - x y)}^{2} y$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$