Cálculo Exemplos

$e^{y} + x y = e$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (e^{y} + x y) = \frac{d}{d y} (e)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{y} + x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{y} + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$e^{y} + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{y} + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{y} + x \cdot 1 + y x'$

Etapa 2.3.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{y} + x + y x'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$y x' + x + e^{y}$

Etapa 3

Como $e$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y x' + x + e^{y} = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y x' + e^{y} = - x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $e^{y}$ dos dois lados da equação.

$y x' = - x - e^{y}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $y x' = - x - e^{y}$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $y x' = - x - e^{y}$ por $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- e^{y}}{y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x}{y} - \frac{e^{y}}{y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - \frac{e^{y}}{y}$