Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sin (2 x)}{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (2 x)}{4})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\sin (2 x)}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (\cos (2 x))}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \cdot 1$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\frac{\cos (2 x)}{2}$ por $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{\cos (2 x)}{2}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 x)}{2}$