Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x \sin (π x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = π x^{2}$ . Depois, $d u = 2 \cdot x π d x$ , então, $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = π x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x^{2}$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$π (2 x)$

Etapa 1.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π x$

Etapa 1.1.5

Reordene $2 π$ e $x$ .

$x (2 π)$

Etapa 1.1.6

Reordene $x$ e $2$ .

$2 \cdot x π$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 1^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = π \cdot 1$

Etapa 1.5.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$u_{upper} = π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2 π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2 π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + 1)$

Etapa 7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + 1)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + 1)$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 2$

Etapa 7.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

Etapa 7.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$