Cálculo Exemplos

$\int (\frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4

Expanda $(- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - 4 x \cdot x^{- 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int - 4 (x^{1} x^{- 2}) - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - 4 x^{1 - 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4.4

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5 - 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4.6

Subtraia $2$ de $5$ .

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{3} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 4.7

Reordene $- 4 x^{- 1}$ e $- 4 x^{3}$ .

$\int - 4 x^{3} - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 4 x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 6

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 8

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 9

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int 5 e^{7 x} d x$

Etapa 10

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{7 x} d x$

Etapa 11

Deixe $u = 7 x$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 11.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

Etapa 12.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

Etapa 13

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{7}$ e $5$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} \int e^{u} d u$

Etapa 15

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} (e^{u} + C)$

Etapa 16

Simplifique.

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{u} + C$

Etapa 17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{7 x} + C$