Cálculo Exemplos

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

Etapa 1.2

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Etapa 1.3

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

Etapa 3.5

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $y$ e $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$