Cálculo Exemplos

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5^{x} + 5^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Etapa 3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Etapa 5.1.2

Reordene $y'$ e $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Etapa 5.1.3

Reordene $5^{x} \ln (5)$ e $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Remova os parênteses.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Etapa 5.2.1.2

Reordene os fatores em $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Etapa 5.4

Some $- 5^{y} - 5^{x}$ e $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Etapa 5.5

Subtraia $\ln (5)$ dos dois lados da equação.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.6.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.6.3.1.3

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 5.6.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.6.3.1.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$