Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = a^{4} + x^{4}$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = a^{4} + x^{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{4} + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Como $a^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $a^{4}$ e $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Etapa 1.5

Some $a^{4}$ e $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $2 a^{4}$ e em $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3

Multiplique os expoentes em ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.8

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.9

Multiplique os expoentes em ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Etapa 6.2.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ e $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Etapa 7.3.2

Fatore $2$ de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Etapa 7.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Etapa 7.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$