Cálculo Exemplos

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{3} + 3 x^{2} + 1)$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} x' + 3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + 0$

Etapa 3.4.2

Some $3 x^{2} x' + 6 x x'$ e $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 3 x^{2} x' + 6 x x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $3 x x'$ de $3 x^{2} x' + 6 x x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 x x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$3 x x' x + 6 x x' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 x x'$ de $6 x x'$ .

$3 x x' x + 3 x x' \cdot 2 = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 x x'$ de $3 x x' x + 3 x x' \cdot 2$ .

$3 x x' (x + 2) = 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 x x' (x + 2) = 1$ por $3 x (x + 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 x x' (x + 2) = 1$ por $3 x (x + 2)$ .

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$