Cálculo Exemplos

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2

Resolva $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ por $\sec^{2} (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 1.2.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 1.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 1.2.1.3.2

Separe as frações.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Etapa 1.2.1.3.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Etapa 1.2.1.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Etapa 1.2.1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.5.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 1.2.1.3.5.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 1.2.1.3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Etapa 1.2.1.3.5.4

Some $1$ e $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 1.2.1.3.6

Separe as frações.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 1.2.1.3.7

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Etapa 1.2.1.3.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Etapa 1.2.1.3.9

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 1.2.1.3.10

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.10.1

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Etapa 1.2.1.3.10.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.10.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 1.2.1.3.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Etapa 1.2.1.3.10.3

Some $2$ e $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Etapa 1.2.1.3.11

Divida $8$ por $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a equação como $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Etapa 1.2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Reescreva $8 \cos^{3} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 1.2.4.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 2 \cos (x)$ e $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Aplique a regra do produto a $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2.6

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $2 \cos (x) - 1 = 0$ para $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = 1$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.7

Defina $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Resolva $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ para $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2.7.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 2$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.2.7.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.2.7.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4.6

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.7.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.2.7.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 1.2.9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2.10

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.10.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 1.2.10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.10.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.10.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.10.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 1.2.10.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.10.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 1.2.10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 1.2.10.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.10.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 1.2.10.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 1.2.10.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.10.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.11

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

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Etapa 1.2.11.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Etapa 1.2.11.2

O cosseno inverso de $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ é indefinido.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2.12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

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Etapa 1.2.12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Etapa 1.2.12.2

O cosseno inverso de $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ é indefinido.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Etapa 1.2.13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $\frac{π}{3} + 2 π n$ por $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ por $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Etapa 1.5

Liste todas as soluções.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- \frac{π}{3}$ e $\frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Etapa 3.3.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3.5

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3.6

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3.8

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1.1

Avalie $\sin (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 3.9.1.2

Avalie $\tan (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.2

Simplifique.

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Etapa 3.9.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 3.9.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.6

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.9.3.7.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.7.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.7.3

Reescreva a expressão.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.9

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Etapa 3.9.3.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Etapa 3.9.3.11

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Etapa 3.9.3.12

Multiplique $- - \sqrt{3}$ .

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Etapa 3.9.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Etapa 3.9.3.12.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Etapa 3.9.3.13

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Etapa 3.9.3.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.3.15

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$10.39230484 \dots$

Etapa 5