Cálculo Exemplos

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 2.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $x$ .

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$