Cálculo Exemplos

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = \frac{8}{x}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{x}$ .

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$V = \frac{64}{x^{2}}$

Etapa 3

Como $64$ é constante com relação a $x$ , mova $64$ para fora da integral.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Mova $64$ para a esquerda de $π$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $5$ e em $1$ .

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Etapa 6.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

Etapa 6.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

Etapa 6.2.5

Some $- 1$ e $5$ .

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

Etapa 6.2.6

Combine $\frac{4}{5}$ e $64$ .

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

Etapa 6.2.7

Multiplique $4$ por $64$ .

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

Etapa 6.2.8

Combine $\frac{256}{5}$ e $π$ .

$V = \frac{256 π}{5}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{256 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 160.84954386 \dots$

Etapa 8