Cálculo Exemplos

${(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 6.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + 2 \cos (2 x))$