Cálculo Exemplos

$\int 2 x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$2 \int \frac{u_{1}}{2} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $\sin (3 {u_{1}}^{2})$ .

$2 \int \frac{u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 5.3

Multiplique $\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$ por $1$ .

$\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 6 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{6} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $3 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 {u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.2

Como $3$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $3 {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1})$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 u_{1}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) \frac{1}{6} d u_{2}$

Etapa 7

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\sin (u_{2})}{6} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2}) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2})) + C$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{2})}{6} + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 {u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {u_{1}}^{2})}{6} + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {(x^{2})}^{2})}{6} + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 12.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (3 x^{2 \cdot 2})}{6} + C$

Etapa 12.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\cos (3 x^{4})}{6} + C$

Etapa 12.2

Reordene os termos.

$- \frac{1}{6} \cos (3 x^{4}) + C$