Cálculo Exemplos

${(x^{2} + 1)}^{3}$

Etapa 1

Escreva ${(x^{2} + 1)}^{3}$ como uma função.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Etapa 4

Expanda ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use o teorema binomial.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Etapa 4.2

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Etapa 4.3

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Etapa 4.4

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Etapa 4.5

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

Etapa 4.6

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

Etapa 4.7

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Etapa 4.8

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Etapa 4.9

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Etapa 4.10

Mova $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Etapa 4.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.12

Some $2$ e $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.14

Some $4$ e $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.15

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.17

Some $2$ e $2$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.18

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.19

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.20

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.21

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 9

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

Etapa 12.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$