Cálculo Exemplos

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Eleve $100$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 1 + 10000$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $10000$ .

$u_{lower} = 10001$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $1 + t^{2}$ e em $10001$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 8.2.2

Fatore $2$ de $- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 8.2.3

Fatore $2$ de $2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 8.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 8.2.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 8.2.4.4

Divida ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.2

Reescreva ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.3

À medida que $t$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.4

Avalie o limite de $10001^{\frac{1}{2}}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.5

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\infty$