Cálculo Exemplos

$- x y + 1 + x^{2} = - 2 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- x y + 1 + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x y + 1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (x y' + y) + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (x y' + y) + 0 + 2 x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x y') - y + 0 + 2 x$

Etapa 2.4.2

Some $- x y' - y$ e $0$ .

$- x y' - y + 2 x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$- x y' + 2 x - y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x y' + 2 x - y = - 2 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $2 y'$ aos dois lados da equação.

$- x y' + 2 x - y + 2 y' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- x y' - y + 2 y' = - 2 x$

Etapa 5.2.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$- x y' + 2 y' = - 2 x + y$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- x y' + 2 y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y' = - 2 x + y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $2 y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot 2 = - 2 x + y$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- x) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x + 2) = - 2 x + y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- x + 2) = - 2 x + y$ por $- x + 2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- x + 2) = - 2 x + y$ por $- x + 2$ .

$\frac{y' (- x + 2)}{- x + 2} = \frac{- 2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- x + 2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x + 2)}{- x + 2} = \frac{- 2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3.6

Reescreva $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 2}$

Etapa 5.4.3.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 2}$

Etapa 5.4.3.8

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 1 (- 2)}$

Etapa 5.4.3.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 2)}$

Etapa 5.4.3.10

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 2)}$

Etapa 5.4.3.11

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 2)}$

Etapa 5.4.3.12

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 2}$