Cálculo Exemplos

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

Etapa 1

Divida $3 x^{2} + 2 x + 1$ por $x + 2$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 6 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x - 8$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Etapa 7

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 8

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 8.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Etapa 8.3

Some $- 1$ e $2$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Etapa 8.5

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 10.2

Avalie $- 4 x$ em $1$ e em $- 1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Etapa 10.3

Avalie $\ln (| u |)$ em $3$ e em $1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.5

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 10.4.5.1

Fatore $2$ de $0$ .

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.5.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.9

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.4.10

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Etapa 12.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

Etapa 12.3

Divida $3$ por $1$ .

$- 8 + 9 \ln (3)$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 8 + 9 \ln (3)$

Forma decimal:

$1.88751059 \dots$

Etapa 14