Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Etapa 1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Etapa 1.3

Como o expoente $1 - x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{1 - x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \cdot - 1}$

Etapa 3.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 e^{1 - x}}$

Etapa 3.11

Reescreva $- 1 e^{1 - x}$ como $- e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{1 - x}}$

Etapa 4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

Etapa 5.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

Etapa 5.1.3

Como a função $e^{1 - x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

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Etapa 5.1.3.1

Considere o limite com o múltiplo constante $- 1$ removido.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Etapa 5.1.3.2

Como o expoente $1 - x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{1 - x}$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 5.1.3.3

Como a função $e^{1 - x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Etapa 5.1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Etapa 5.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Etapa 5.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{1 - x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 5.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 5.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 5.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 5.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 5.3.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 5.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.10

Multiplique $e^{1 - x}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \cdot 1}$

Etapa 5.3.12

Multiplique $e^{1 - x}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{1 - x}}$ se aproxima de $0$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$