Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x + 1}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{4}{x^{2} - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{2}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} - 1) (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{4}{x^{2} - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 1 + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.9

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.10.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.10.1.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10.1.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.2.10.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1 \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (x + 1)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (x^{2} - 1)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 4 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.15

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $x^{2} - 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17

Simplifique.

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Etapa 2.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 2.3.17.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.3.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1}$

Etapa 2.3.17.3.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.2.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.2.3.2

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.7.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.7.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

Etapa 3.1.3.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 3.1.3.7.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.5

Some $4$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.7.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.3.8.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + 0}$

Etapa 3.3.10

Some $6 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $4$ e $6 x + 2$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{6 x + 2}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2 (1)}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Etapa 3.4.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x + 1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x + 1}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 4.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{- 3 + 1}$

Etapa 6.1.2

Some $- 3$ e $1$ .

$2 (\frac{1}{- 2})$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{1}{2 (- 1)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 6.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1$