Cálculo Exemplos

$y = - 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- \frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{5} x^{- 4}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- 8 x + 4 (\frac{2}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3.4

Combine $4$ e $\frac{2}{5}$ .

$- 8 x + \frac{4 \cdot 2}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3.6

Combine $\frac{8}{5}$ e $x^{- 5}$ .

$- 8 x + \frac{8 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.3.7

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} (4 x^{3})$

Etapa 1.4.3

Combine $4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3}$

Etapa 1.4.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8}{3} x^{3}$

Etapa 1.4.5

Combine $\frac{8}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8 x^{3}}{3}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{8}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{24}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $24$ e $3$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $3$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $8 x^{2}$ por $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $\frac{8}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{5 x^{5}}$ em relação a $x$ é $\frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Etapa 2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.7.1

Mova $x^{4}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Etapa 2.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Etapa 2.4.7.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 6})$

Etapa 2.4.8

Combine $- 5$ e $\frac{8}{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 5 \cdot 8}{5} x^{- 6}$

Etapa 2.4.9

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5} x^{- 6}$

Etapa 2.4.10

Combine $\frac{- 40}{5}$ e $x^{- 6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40 x^{- 6}}{5}$

Etapa 2.4.11

Mova $x^{- 6}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5 x^{6}}$

Etapa 2.4.12

Cancele o fator comum de $- 40$ e $5$ .

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Etapa 2.4.12.1

Fatore $5$ de $- 40$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Etapa 2.4.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.12.2.1

Fatore $5$ de $5 x^{6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 (x^{6})}$

Etapa 2.4.12.2.2

Cancele o fator comum.

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Etapa 2.4.12.2.3

Reescreva a expressão.

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 8}{x^{6}}$

Etapa 2.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x^{2} - 8 - \frac{8}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$f'' (x) = 8 x^{2} - \frac{8}{x^{6}} - 8$