Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Etapa 2

Calcule a derivada de $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $3$ e $0$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 5.2.3

Combine $3$ e $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $3$ de $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 7.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 7.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

Etapa 7.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Reescreva ${(3 x + 2)}^{2}$ como $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

Etapa 7.4.2

Expanda $(3 x + 2) (3 x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Etapa 7.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Etapa 7.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

Etapa 7.4.3.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

Etapa 7.4.4

Some $- 3 x$ e $12 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

Etapa 7.4.5

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

Etapa 7.4.6

Reordene os termos.

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

Etapa 7.4.7

Fatore $3$ de $9 x^{2} + 9 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.7.1

Fatore $3$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

Etapa 7.4.7.2

Fatore $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

Etapa 7.4.7.3

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Etapa 7.4.7.4

Fatore $3$ de $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Etapa 7.4.7.5

Fatore $3$ de $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$