Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 4$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Etapa 1.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 4^{2} - 4$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 16 - 4$

Etapa 1.5.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 12$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 12$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{12}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $12$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{1})$

Etapa 6.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0)$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} + 0)$

Etapa 6.2.6

Some $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.7

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 12^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.8

Combine $\frac{2}{2}$ e $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.10

Divida $12^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$12^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$12^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$3.46410161 \dots$

Etapa 8