Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k^{2}}{k + 1}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$\frac{1^{2}}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Etapa 2.1.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Etapa 2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Etapa 2.1.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Etapa 2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{3 + 1}$

Etapa 2.1.6

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.8

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.9

Reordene os fatores de $4 \cdot 3$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{6 + 16 + 9 \cdot 3}{12}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{6 + 16 + 27}{12}$

Etapa 2.5

Some $6$ e $16$ .

$\frac{22 + 27}{12}$

Etapa 2.6

Some $22$ e $27$ .

$\frac{49}{12}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{49}{12}$

Forma decimal:

$4.08\overline{3}$

Forma de número misto:

$4 \frac{1}{12}$