Cálculo Exemplos

$\int_{- 5}^{5} \sqrt{5^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int_{- 5}^{5} \sqrt{25 - x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 5 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 5 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $25$ de $25$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Reescreva $25 \cos^{2} (t)$ como ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 3.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 25 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Como $25$ é constante com relação a $t$ , mova $25$ para fora da integral.

$25 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{25}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 10.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 10.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 10.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 10.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 10.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Etapa 13

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 14.2

Avalie $\sin (u)$ em $π$ e em $- π$ .

$\frac{25}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.3.2

Some $π$ e $π$ .

$\frac{25}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.3.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Etapa 15.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Etapa 15.1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Etapa 15.1.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Etapa 15.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Etapa 15.1.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 15.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (π + 0)$

Etapa 15.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{25}{2} π$

Etapa 15.3

Combine $\frac{25}{2}$ e $π$ .

$\frac{25 π}{2}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{25 π}{2}$

Forma decimal:

$39.26990816 \dots$

Etapa 17