Cálculo Exemplos

$\arctan (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

Etapa 2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os termos.

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

Etapa 3.2.2

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

Etapa 3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$