Cálculo Exemplos

$y = {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{3}{4}}$ e $g (x) = 9 x^{2} - 2 x + 2$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x^{2} - 2 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} u^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x^{2} - 2 x + 2$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $4$ de $- 3$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.6.2

Combine ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ e $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.3.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.6.3.2

Mova ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} - 2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.8

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $9$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.13

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + 0)$

Etapa 3.15

Some $18 x - 2$ e $0$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$

Etapa 3.16

Simplifique.

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Etapa 3.16.1

Reordene os fatores de $- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$ .

$- (18 x - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (18 x) - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.3

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$(- 18 x - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$(- 18 x + 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.5

Multiplique $- 18 x + 2$ por $\frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$ .

$\frac{(- 18 x + 2) \cdot 3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.6

Fatore $2$ de $(- 18 x + 2) \cdot 3$ .

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.16.7.1

Fatore $2$ de $4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

Etapa 3.16.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

Etapa 3.16.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 9 x + 1) \cdot 3}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.8

Mova $3$ para a esquerda de $- 9 x + 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 9 x + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.9

Fatore $- 1$ de $- 9 x$ .

$\frac{3 (- (9 x) + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (9 x) - 1 (- 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.11

Fatore $- 1$ de $- (9 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.12

Reescreva $- (9 x - 1)$ como $- 1 (9 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 3.16.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$