Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 - 3 x$ e $g (x) = 3 + x^{2}$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \cdot 1) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \cdot - 3 - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $3 + x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (2 x)}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} + (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 x)) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x + 6 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Some $- 3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{- 9 + 3 x^{2} - 4 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$