Cálculo Exemplos

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 4 y^{2}}$ como ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 4 y^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.6.2.2

Mova ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Etapa 3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Etapa 3.6.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.9

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ .

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $1 + 8 y y'$ por $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.1.1.4.1

Mova $y$ .

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reordene $1$ e $8 y' y$ .

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Subtraia $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 6.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Etapa 6.3.3

Fatore $2 y'$ de $8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $2 y'$ de $8 y' y$ .

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Etapa 6.3.3.2

Fatore $2 y'$ de $- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Etapa 6.3.3.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Etapa 6.3.4

Reescreva $- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Etapa 6.3.5

Divida cada termo em $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ por $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 6.3.5.1

Divida cada termo em $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ por $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.2.2.1

Fatore $2$ de $8 y$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.2.2

Fatore $2$ de $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.2.3

Fatore $2$ de $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.2.4

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.3.1

Fatore $2$ de $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.3.1.1

Fatore $2$ de $8 y$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.5.3.1.2

Fatore $2$ de $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 6.3.5.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 6.3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$