Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5

Some $- \sin (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida $- \sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x)$

Etapa 4.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x)$

Etapa 4.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \sin (0)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 0$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$