Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 16 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 16 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 16$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 16 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4 x$ de $12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) - 16 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) + 4 x (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (3 x)$ .

$4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x - 1) (x + 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x - 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 1, - 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 24 (0) - 16$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 24 (0) - 16$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 24 (0) - 16$

Etapa 9.1.3

Multiplique $24$ por $0$ .

$0 + 0 - 16$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 16$

Etapa 9.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$- 16$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 11.2.2.3

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + 24 (1) - 16$

Etapa 13.1.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$12 + 24 - 16$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $12$ e $24$ .

$36 - 16$

Etapa 13.2.2

Subtraia $16$ de $36$ .

$20$

Etapa 14

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 8 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 + 4 - 8 \cdot 1 + 1$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 8 + 1$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Some $1$ e $4$ .

$f (1) = 5 - 8 + 1$

Etapa 15.2.2.2

Subtraia $8$ de $5$ .

$f (1) = - 3 + 1$

Etapa 15.2.2.3

Some $- 3$ e $1$ .

$f (1) = - 2$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) - 16$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 16 + 24 (- 4) - 16$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$192 + 24 (- 4) - 16$

Etapa 17.1.3

Multiplique $24$ por $- 4$ .

$192 - 96 - 16$

Etapa 17.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $96$ de $192$ .

$96 - 16$

Etapa 17.2.2

Subtraia $16$ de $96$ .

$80$

Etapa 18

$x = - 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 4$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f (- 4) = 256 + 4 {(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f (- 4) = 256 + 4 \cdot - 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 64$ .

$f (- 4) = 256 - 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 1$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = 256 - 256 - 8 \cdot 16 + 1$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $- 8$ por $16$ .

$f (- 4) = 256 - 256 - 128 + 1$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $256$ de $256$ .

$f (- 4) = 0 - 128 + 1$

Etapa 19.2.2.2

Subtraia $128$ de $0$ .

$f (- 4) = - 128 + 1$

Etapa 19.2.2.3

Some $- 128$ e $1$ .

$f (- 4) = - 127$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 127$ .

$y = - 127$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ é um máximo local

$(1, - 2)$ é um mínimo local

$(- 4, - 127)$ é um mínimo local

Etapa 21